Диагоналите и радиусите на паралелопипеда

Не знам защо, докато гледам български футбол, обикновно се занимавам и с дескриптивна геометрия.

Навярно защото много неща в него обикновено са извън плоскостта на самия терен и зависят от триизмерното пространство: бизнес. лични интереси и една случайна уж, театрално заложена като драматургия, константа – кой, кого ще победи вместо нас и какъв ще е нашия бърз келепир.

За последно не ми излезна решението, когато Кипър не победи Ирландия.

А как добре си я бях задал и дори почти я бях решил преди този кръг.

Представих си възможноста за класиране на българите на световното догодина като паралелопидед, за който всички първолаци уж знаят, си е чиста проба частен случай на четиристенна призма с основа успоредник. Най-често се разглежда вариантът, при който всички стени сключват прав ъгъл с неуспоредните на тях – правоъгълен паралелепипед.

Правоъгълен паралелепипед, чийто ръбове са еднакво дълги, се нарича куб. Всички стени на произволен паралелепипед са успоредници, на правоъгълен паралелепипед – правоъгълници, а на куб – квадрати. А бе, накратко – геометрично тяло с шест стени и дванадесет ребра, които са две по две успоредни, и осем върха.

Пък надали в България има футболен експерт, който да не знае, че обемът на правоъгълен паралелепипед е равен на произведението на дължината, ширината и височината му. При куба те са равни и обемът му е равен на трета степен от дължината на страната. Общия случай може чрез разместване да бъде приведен към правоъгълен паралелепипед и обемът на произволен паралелепипед е равен на произведението на площта на основата по височината му.

V = S_{ABCD} \cdot h – по-елементарно надали може да бъде.

Но още в началото на мача, виден футболен коментатор се опита да ми обясни, че е възможно обема да бъде изчислен и с методите на векторното смятане: ако един от върховете бъде приет за начало на декартова координатна система и трите ръба, излизащи от върха бъдат представени като вектори a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) и c = (c1, c2, c3), то обемът е равен на смесеното произведение на векторите a · (b ? c).

Числената стойност е равна на модула на детерминантата:

V = \big| \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| \big|

Елементарно уж.

А защо все не ни се получава.

Навярно защото пропускаме някои специфични геометрични свойства на паралелепипеда като:

1. Параллелепипедът е централно-симетричен спрямо средата на телесния му диагонал, което е елементарно следствие от централната симетрия на стените му.
2. Че всяка отсечка с краища върху паралелепипед и минаваща през средата на телесния му диагонал се разполовява от тази среда;
3. Че в частност всички телесни диагонали се пресичат и разполовяват в една точка.
4. Че успоредните помежду си ръбове на паралелепипеда са равни по дължина.
5. Че успоредните стени са еднакви успоредници и съответно имат еднакви обиколка и площ.
6. Че квадрата на дължината на телесния диагонал на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата на квадратите на трите му размерности, което пък е следствие от Питагоровата теорема.

И с някаква нестихваща упоритост всичките ни експерти продължават да оправдават неудачите си с елементарното оправдание, че топката била кръгла и била от женски род.

Ами дай да се вгледаме най-сетне внимателно и в топките на другите отбори. Да разгадаем най-накрая тяхната форма!!!

Пък дано тогава Евклидовата, или така наречената днес, дескриптивната геометрия ни помогнат.

Но това надали ще се случи, докато ни вкарват по 5 отбора в група. Защото в съчинението си „Елементи“, той се стреми да изведе от 5 аксиоми и 5 постулата всички останали геометрични твърдения.

А геометрите след него се затрудняват от сложността на Петия постулат и векове се опитват да го докажат като теорема въз основа на останалите четири. Оригиналната формулировка на този постулат е следната: Ако една права линия пада върху две прави линии така, че вътрешните ъгли от едната страна са заедно по-малки от два прави ъгъла, то правите линии, ако се продължат безкрайно, се срещат от страната, от която ъглите са по-малки от два прави ъгъла.

Дано не сме Петият постулат…

Иначе Декарт, като един типичен французин, решава доста по-сложни задачи , въпреки елементарната си двумерна система. И необясно как, все още продължава да подкрепя френския национален футболен отбор с простите си напътствия.

А аз сега имам усещането, че стоя на някаква забравена гара и крещя на останалите във вагона:“Отворете прозорците и викайте колкото ви глас държи, че влакът, в който се возим, е спрял!“

Глупости!!! – това няма нищо общо с дескриптивната геометрия.